LAPORAN STATISTIKA

MAKALAH PRAKTIKUM

SEBARAN BINOMIAL, POISSON, DAN NORMAL

Disusun Oleh:

Kelompok 3

Evi Setyaningsih                                23040113140044

Almira Yumna D                              23040113190056

Ihtifazhuddin                                     23040113140072

Muhammad Hasan                           23040113140075

Khotimatul Barki                              23040113140078

Dinda Ayu S                                      23040113190080

PROGRAM STUDI S-1 AGRIBISNIS

FAKULTAS PETERNAKAN DAN PERTANIAN

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

2013

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterprestasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaanyang saling bebas, hasil setiap ulangan hanya dikategorikan ke dalam 2 kelas. Misal “berhasil” atau “gagal” (“ya” atau “tidak”. “success” or “failed”) dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil atau gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n= 1, distribusi binomial adalah distribusi Bernoulli. Percobaan probabilitas yang menghasilkan salah satu dari dua kejadian yaitu sukses (x= 1). Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

1.2.      Tujuan

Tujuan pembuatan makalah ini selain untuk melengkapi tugas praktikum mata kuliah Statistika, yaitu untuk mengetahui pengertian distribusi Binomial, Poisson dan Normal lebih jauh, mulai dari cara menghitungnya, dan memahami konsep distribusi Binomial, Poisson dan Normal yang merupakan bagian dari probabilitas itu sendiri.

1.3.               Manfaat Penulisan

Meningkatkan pemahaman tentang sebaran binomial, passion, dan normal.

BAB II

TELAAH PUSTAKA

2.1.      Distribusi Binomial

Distribusi binomial disebut pula distribusi bernoulli ditemukan oleh James Bernoulli adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan var random diskrit (var yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan asli tidak berbentuk pecahan) yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, baik-cacat, siang-malam, dsb. Distribusi binomial yakni sebuah distribusi berbagai kemungkinan dari kejadian binomial (Santoso, 2010).

Ciri-ciri Distribusi Binomial:

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti sukses atau gagal

2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap perubahan

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tetap.

Rumus untuk distribusi binomial adalah sebagai berikut :

Dimana :

x = 0, 1, 2, 3,..., N.

0 < p < 1 dan

Contoh soal:

Menurut pengalaman 51% dari telur yang menetas akan menjadi ayam jantan. Berapakah peluang agar dari speuluh butir telur yang menetas terdapat 3 ekor ayam jantan dan 7 ekor ayam betina?

Jawab :

Ditetaskannya seekor ayam jantan dapat dimisalkan sebagai kejadian X = x, x = 0, 1, 2, 3, ...., 10. Dalam hal ini x = 3 dan N = 10, sedangkan p = 0,51 sehingga peluang dari 10 butir telur yang menetas terdapat 3 ekor ayam jantan adalah :

2.2.      Distribusi Poisson

Distribusi poisson (ditemukan : SD Poisson, Ahli Matematika asal Perancis). distribusi poisson adalah suatu distribusi teorits yang berhubungan dengan variable acak deskrit (Kusrianto, 2010). Distribusi poisson digunakan untuk menentukan peluang sebagai peristiwa dalam periode yang panjang atau dalam suatu daerah tertentu yang spesifik.

 Ciri-ciri dari distribusi Poisson :

(1) Banyaknya hasil percobaan yang satu tidak tergantung dari banyaknya hasil percobaan yang lain.

(2) Probabilitas hasil percobaan sebanding dengan panjang interval waktu.

(3) Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

Rumus distribusi poisson adalah sebagai berikut :

Dimana :

·         e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...).

·         nilai  dapat dicari pada tabel nilai

·         x adalah jumlah kejadian suatu peristiwa – peluang dapat merupakan nilai-nilai 0, 1, 2, ...., N.

·         x! Adalah faktorial dari x.

·         µ adalah bilangan bulat positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu.

Contoh soal:

Berdasarakan pengalaman, menetas dari proses penetasan y mesin tetas yang berkapasitas 2000 butir telur, pada saat dioperasikan hanya sebutir telur yang tidak menetas. Mahasiswa Fakultas Peternakan Universitas Diponegoro ingin mengetahui berapa peluang memperoleh 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 butir telur yang tidak menetas dari proses penetesan yang hanya diisi 1000 butir telur.

Jawab :

Di sini p = 1/2000= 0,0005 (lebih kecil dari 0,10) dan N = 1000 (lebih besar dari 50), sehingga pendekatan poisson dapat dilakukan. Dari nilai p dan N tersebut maka = 0,50. Sebaran poisson secara berturut-turut dapat diberikan sebagai berikut :

(a). P(X = x = 0) =  = 0.6066

(b). P(X = x = 1) =  = 0,3033

(c). P(X = x = 2) =  = 0,07582

(d). P(X = x = 3) =  = 0,01264

(e). P(X = x = 4) =  = 0,00158

(f). P(X = x = 5) =  = 0,000184

2.3. Distribusi Normal

            Distribusi normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Terminology “normal” itu sendiri bukan tidak pada tempatnya, karena memang distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil (Harinaldi, 2005). Distribusi normal dikenal juga sebagai lengkungan normal atau distribusi Gauss yang merupakan salah satu contoh dari suatu sebaran peluang variabel acak kontinyu. Sebaran normal didefinisikan oleh persamaan :

Keterangan:

π = nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal = 3.1416

e = bilangan konstan yang bila ditulis dalam 4 desimal = 2,7183

µ = parameter, teryata merupakan rata- rata untuk distribusi

σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi

Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi dan π = 3,14159… Contoh grafik fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal digambarkan dalam Gambar 1.

Gambar 1. Grafik fungsi probabilitas distribusi normal

Grafik fungsi distribusi normal tersebut di atas membentang dari minus tak hingga hingga tak hingga. Hanya saja, semakin jauh dengan rata-rata (M₁), nilai probabilitas akan semakin mendekati nol.

dengan menggunakan transformasi :

Z = x -µ

         σ

Sebaran  normal juga memiliki beberapa sifat penting yaitu:

1.      Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

2.      Bentuknya simetris terhadap x = µ

3.      Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodel, tercapai pada

x = µ sebesar  

4.      Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar x dimulai dari x =  ke kanan dan x =  ke kiri

5.      Luas daerah grafik selalu sama dengan suatu unit persegi

Contoh soal:

Berat bayi yang baru lahir rata- rata 370 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat berdistribusi normal, maka tentukan:

a.       Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b.      Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram. Jika semuanya ada 10000 bayi?

Jawab:

a.       Z= 4500 – 3750   

       325

               = 750

                  325

              = 2.31

Maka luas daerah adalah  0,5 – 0,4896 = 0,0104

Jadi, ada 1,04 % dari bayi yang beratnya 4500.

b.         X = 350 dan x= 4500

Pada x= 4500 sudah dihitung pada soal a

Z= 4500 – 3750

           325

  =  -0,77

Luas daerah 0,2794 + 0,4896 = 0,7690

Jadi, banyak bayi yang beratnya antara 3500 dan4500 diperkirakan ada 0,7690 . 10000 =7690 bayi

DAFTAR PUSTAKA

Santoso, Singgih. 2010. Statisik Nonpparametrik. PT.Elex Media

              Komputindo, Jakarta.

Harinaldi. 2005. Prinsip- prinsip Statistik. Erlangga, Jakarta.

Kusrianto, Adi. 2010. Pembahasan Lengkap Formula dan Fungsi

              EXCEL 2010. PT. Elex Media Komputindo, Jakarta.